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Studying/자연과학

수학 상식 : 변분법과 라그랑지안 역학 여기서는 자연현상을 기술하기 위한 물리법칙 등을 나타내기 위한 방법 중의 하나인 라그랑지안 (Lagrangian) 및 액션 (action)과, 이로부터 운동방정식 (equation of motion)을 이끌어내기 위한 수학적 도구인 변분법 (calculus of variation)에 대해서 알아보도록 합시다. 이번 포스팅에서 다루는 내용을 이해하기 위해서는 먼저 정적분과 미분방정식에 대해 알고 있어야 합니다. 이들의 정의와 부정적분 및 미분과의 관계에 대해 더 자세한 내용이 궁금하시다면, 다음 포스팅이 큰 도움이 되리라 생각합니다. 수학 상식 : 미분과 적분 이해하기 이번 포스팅에서는 고등학교 수학의 종착역이자 고급 수학의 출발점이라고 할 수 있는 미분과 적분에 대해 알아보도록 합시다. 미분과 적분의 기.. 더보기
수학 상식 : 벡터의 덧셈과 곱셈 (내적, 외적) 이번 포스팅에서는 두 개의 벡터 (vector)의 덧셈 및 곱셈 연산인 내적 (inner product)과 외적 (exterior product)의 정의와 특징에 대해 간략히 짚어보겠습니다. 벡터의 각 성분들을 가지고 이 연산들을 어떻게 수행하는지와 더불어, 벡터로서의 함수가 정의되는 힐베르트 공간 (Hilbert space)의 개념에 대해서도 살펴봅시다. 벡터의 곱셈인 내적과 외적이 가지는 기하학적인 의미를 살펴보기 위해, 코사인 (cosine) 함수 및 사인 (sine) 함수들을 언급할텐데요. 이러한 삼각함수들이 어떻게 정의되며 어떠한 특징을 가지고 있는지에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세히 소개되어 있습니다. 수학 상식 : 원주율과 삼각함수 여기서는 기하학에 관련된 중요한 상수인 원주율과, 과학 및.. 더보기
수학 상식 : 위도, 경도와 지도 투영법 이번 포스팅에서는 구면 상의 위치를 정의하기 위한 좌표인 위도 (latitude) 및 경도 (longitude)의 개념과, 구면을 평면에 투영하여 지도를 만들기 위한 방법인 지도 투영법 혹은 도법 (cartography)에 대해 알아봅시다. 위도와 경도는 기본적으로 각도이기 때문에, 이들을 다루기 위해서는 호도법과 삼각함수에 대해 알아둘 필요가 있습니다. 이들이 생소하게 느껴지는 분들은, 시작하기에 앞서서 다음 포스팅을 읽어보시면 큰 도움이 되리라 생각합니다. 수학 상식 : 원주율과 삼각함수 여기서는 기하학에 관련된 중요한 상수인 원주율과, 과학 및 공학 분야에서 가장 흔하게 접할 수 있는 주기함수인 삼각함수에 대해 얘기해볼까 합니다. 원주율과 호도법 먼저 유클리드 공간에 swstar.tistory.co.. 더보기
물리학 상식 : 만유인력과 케플러 법칙 여기서는 고전 중력 혹은 뉴턴 중력 (Newtonian gravity)이라고도 불리우는 만유인력의 개념과, 이로 인해 파생되는 행성의 궤도 운동인 케플러 (Kepler) 운동에 대해 알아봅시다. 고등학교 지구과학 교과서의 천문학 부분에 등장하는 3개의 케플러 법칙에 대해서도 살펴보겠습니다. 질량을 가진 물체들이 서로를 끌어당기는 힘이라고 볼 수 있는 만유인력은 등방성 (isotropy)을 가지고 있습니다. 다시 말해서 점으로 된 질량이 있을 때, 이로 인해 파생되는 중력장의 세기는 점 질량으로부터의 거리에 따라 달라지지만 방향에는 무관한 함수라는 것이죠. 그렇기 때문에 3차원 공간에서 행성의 궤도 운동을 기술하기 위해서는 구면 좌표계를 활용하는 것이 좋습니다. 구면 좌표계의 정의와 특징에 대한 더 자세한.. 더보기
수학 상식 : 원통 좌표계와 구면 좌표계 벡터라는 개념을 처음 배울 때 사용했던 직각 혹은 데카르트 좌표계 (Cartesian coordinates) 이외에도, 풀고자 하는 수학이나 과학 문제에 따라 유용한 곡선 좌표계들이 있는데요. 3차원 공간에서는 원통 좌표계 (cylindrical coordinates)와 구면 좌표계 (spherical coordinates)가 대표적인 예시입니다. 여기서는 원통 좌표계와 구면 좌표계들이 어떻게 정의되고, 데카르트 좌표계와는 어떻게 연결되는지 살펴보겠습니다. 이름에서 유추할 수 있듯이 원통 및 구면 좌표계에서는 2차원 상의 원이나 3차원 상의 구면이라는 기하학적 개념을 상정하고 있습니다. 그렇기 때문에 삼각함수의 정의와 특징들을 먼저 알아둘 필요가 있는데요. 만약 삼각함수라는 개념이 생소하거나 이들에 대해.. 더보기
물리학 상식 : 양자 터널링 효과 이번에는 양자역학의 파동-입자 이중성으로부터 파생되는 중요한 현상 중의 하나인 터널링 (quantum tunneling) 효과에 대해 알아봅시다. 고전역학 또는 뉴턴역학으로는 설명할 수 없기 때문에, 일상적인 직관을 거스르는 현상 중의 하나인데요. 물질파를 기술하는 슈뢰딩거의 파동방정식에 입각해서, 입자의 운동에너지를 상회하는 위치에너지를 가진 장벽을 넘나드는 터널링 효과에 대해 살펴보겠습니다. 슈뢰딩거 방정식이라는 것을 앞서 언급했었는데, 이는 입자의 파동적 성질을 나타내는 물질파의 파동함수가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 알아내기 위한 방정식입니다. 파동-입자 이중성의 개념이나 파동방정식이 생소하게 느껴지는 분들은 시작하기에 앞서서 다음 포스팅을 읽어보시면 큰 도움이 되리라 생각합니다. 물리학 상식.. 더보기
수학 상식 : 미분과 적분 이해하기 이번 포스팅에서는 고등학교 수학의 종착역이자 고급 수학의 출발점이라고 할 수 있는 미분과 적분에 대해 알아보도록 합시다. 미분과 적분의 기본 개념뿐만 아니라, 미분방정식이나 적분변환 등의 확장된 개념들에 대해서도 짚어보도록 하겠습니다. 미분 개념 미분 (derivative)은 주어진 함수가 매개변수 또는 인자의 값에 따라 얼마나 빠르게 변화하는지를 수치화한 것입니다. 다시 말해서 인자의 값을 아주 약간 바꿨을 때, 함수의 값이 변하는 비율을 나타낸 것인데요. 기하학적으로 보면, 이는 함수를 그래프로 그렸을 때의 기울기에 해당합니다. 미분으로 주어진 함수를 도함수라는 명칭으로 부르기도 합니다. 예컨대 매개변수 x 에 대한 함수 f(x) 를 x에 대해 미분하여 얻은 함수를 f의 도함수라고 부르고, df/dx.. 더보기
물리학 상식 : 방사성 붕괴 여기서는 방사성 동위 원소들의 붕괴 (radioactive decay)가 어떻게 일어나는지에 대해 한번 짚어보겠습니다. 더 안정적인 입자들로 쪼개지는 경향을 가진 방사성 동위 원소들의 갯수가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 알아봅시다. 그리고 반감기 (half-life)라는 개념이 어떻게 등장하는지도 한번 살펴보겠습니다. 방사성 붕괴가 일어나는 것은 양자역학의 시간-에너지 불확정성과 밀접한 관련이 있습니다. 이는 입자가 파동의 성질을 가진다는 점으로부터 도출해낼 수 있는 결과 중의 하나인데요. 파동-입자 이중성과 불확정성 원리에 대해 더 자세한 내용이 궁금하시다면, 다음 포스팅을 한번 읽어보시기를 권장합니다. 물리학 상식 : 파동-입자 이중성 이번 포스팅에서는 양자역학에서 언급되는 물질과 파동의 이중성 (.. 더보기
수학 상식 : 테일러 급수 전개 여기서는 함수의 특징을 이해하거나, 여러 수학 및 과학 문제들을 근사적으로 푸는 데 도움이 되는 테일러 급수 전개 (Taylor series expansion)에 대해 알아봅시다. 주어진 함수를 무한한 차수의 다항식으로 전개하는 것으로서, 이 개념을 처음 도입한 수학자 브룩 테일러 (Brook Taylor)에게서 그 이름을 따왔습니다. 테일러 급수 전개는 함수의 미분과 밀접한 관련이 있습니다. 함수의 변화율을 구하는 미분의 개념이 낮설게 느껴지거나 더 자세한 내용이 궁금하신 분들은, 시작하기에 앞서서 다음 포스팅을 읽어보시면 큰 도움이 되리라 생각합니다. 수학 상식 : 미분과 적분 이해하기 이번 포스팅에서는 고등학교 수학의 종착역이자 고급 수학의 출발점이라고 할 수 있는 미분과 적분에 대해 알아보도록 합.. 더보기
수학 상식 : 지수함수와 로그함수 이번에는 자연과학 및 공학 분야에서 중요하게 다뤄지는 오일러 상수 (Euler number 혹은 자연 상수)와 지수함수 (exponential function)에 대해 알아봅시다. 크기나 숫자 등이 폭발적으로 증가하는 현상을 두고 지수함수적으로 증가한다는 말을 많이들 쓰십니다. 지수함수는 증가율이 함수 자체에 비례하는 상황에 가장 걸맞는 수학적 개념이라고 볼 수 있죠. 지수함수 뿐만 아니라 그 역함수인 로그함수 (logarithm)와, 지수함수와 삼각함수간의 관계에 대해서도 짚어보겠습니다. 지수함수의 미분이 가진 특별한 성질과 결부지어서 바라보게 될텐데요. 함수의 기울기라는 의미를 가진 미분이 낮설게 느껴지거나, 미분 및 미분방정식에 대해 더 자세한 내용을 알고 싶으신 분들은 시작하기에 앞서서 다음 포스.. 더보기

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