수학 상식 : 테일러 급수 전개

여기서는 함수의 특징을 이해하거나, 여러 수학 및 과학 문제들을 근사적으로 푸는 데 도움이 되는 테일러 급수 전개 (Taylor series expansion)에 대해 알아봅시다. 주어진 함수를 무한한 차수의 다항식으로 전개하는 것으로서, 이 개념을 처음 도입한 수학자 브룩 테일러 (Brook Taylor)에게서 그 이름을 따왔습니다.

테일러 급수 전개는 함수의 미분과 밀접한 관련이 있습니다. 함수의 변화율을 구하는 미분의 개념이 낮설게 느껴지거나 더 자세한 내용이 궁금하신 분들은, 시작하기에 앞서서 다음 포스팅을 읽어보시면 큰 도움이 되리라 생각합니다.

수학 상식 : 미분과 적분 이해하기

이번 포스팅에서는 고등학교 수학의 종착역이자 고급 수학의 출발점이라고 할 수 있는 미분과 적분에 대해 알아보도록 합시다. 미분과 적분의 기본 개념뿐만 아니라, 미분방정식이나 적분변환

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개념

앞에서 얘기한 대로 주어진 함수를 무한한 차수의 다항식으로 급수 전개한 것이 테일러 전개입니다. 그러면 떠오르는 질문은 각 항에 들어가는 계수의 값이 무엇이냐가 될 텐데요. 이는 우리가 전개하고자 하는 함수의 미분값들로부터 알아낼 수 있습니다. 다항식의 고차 미분을 통해서 테일러 전개의 계수를 함수의 미분과 연결할 수 있겠습니다. 물론 이를 위해서는 함수의 형태가 무한히 미분가능한 것이어야 하겠죠.

schematics of Taylor series expansion, which relates the coefficients and derivatives of the given function

테일러 급수 전개에 있어서 중요한 개념으로는 기준점과 수렴 반경 (radius of convergence)이 있습니다.

기준점
테일러 전개를 고려할 때 가장 중요한 것 중 하나는 기준점을 설정하는 것이라 할 수 있는데요. 기준점으로부터의 거리에 대한 무한 차수의 다항식으로 전개를 하는 것이기 때문입니다.
수렴 반경
테일러 전개의 정의로부터 유추할 수 있습니다만, 고차항으로 갈수록 기준점으로부터의 거리를 거듭제곱한 횟수가 늘어나게 됩니다. 그렇기 때문에 기준점으로부터 멀리 떨어진 지점에서는 무한급수가 수렴한다는 보장이 없겠죠. 무한급수로서의 테일러 전개가 수렴하기 위한 범위를 결정하는게 바로 수렴 반경입니다.

일반적으로 테일러 전개는 무한급수의 형태를 가지고 있습니다만, 유한한 차수를 가진 다항식을 대상으로 하는 경우라면 고차항의 계수가 0이 되는 관계로 유한급수가 됩니다. 중학교 수학에 등장하는 2차 방정식의 판별식을 유도해 보신 분들이라면, 테일러 전개를 맛보기로나마 접해봤다고 해도 좋을텐데요. 임의의 2차 다항식을 가지고 기준점을 바꿔서 2차항과 상수의 합으로 나타내는 과정이 있기 때문입니다. 함수 자체는 동일하지만, 기준점을 옮긴 테일러 전개를 통해 2차 방정식의 해를 손쉽게 구할 수 있게 되는거죠.

테일러 전개의 기본개념은 그렇게 복잡하지 않지만, 무한한 갯수의 항을 전부 더하는 것은 실제로 불가능하죠. 테일러 급수 전개의 실용적 용도 중의 하나는 이를 유한급수로 끊어서, 기준점 근처에서의 근사식으로 사용하는 것입니다. 만약 기준점으로부터의 거리가 1보다 매우 작다면, 거듭제곱을 할수록 크기가 작아지겠죠. 이말인즉슨 급수의 고차항으로 갈수록 그 중요도가 점점 떨어지게 되고, 이들을 생략한 다항식을 함수의 근사식으로 사용할 수 있게 되는 것입니다.