여기서는 방사성 동위 원소들의 붕괴 (radioactive decay)가 어떻게 일어나는지에 대해 한번 짚어보겠습니다. 더 안정적인 입자들로 쪼개지는 경향을 가진 방사성 동위 원소들의 갯수가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 알아봅시다. 그리고 반감기 (half-life)라는 개념이 어떻게 등장하는지도 한번 살펴보겠습니다.
방사성 붕괴가 일어나는 것은 양자역학의 시간-에너지 불확정성과 밀접한 관련이 있습니다. 이는 입자가 파동의 성질을 가진다는 점으로부터 도출해낼 수 있는 결과 중의 하나인데요. 파동-입자 이중성과 불확정성 원리에 대해 더 자세한 내용이 궁금하시다면, 다음 포스팅을 한번 읽어보시기를 권장합니다.
물리학 상식 : 파동-입자 이중성
이번 포스팅에서는 양자역학에서 언급되는 물질과 파동의 이중성 (wave-particle duality)에 대해 이중 슬릿 실험과 함께 짚어봅시다. 입자의 파동인 물질파를 기술하기 위한 파동방정식과 불확정성
swstar.tistory.com
시간-에너지 불확정성의 요점을 간단히 말하자면, 유한한 시간동안만 존재할 수 있는 입자 또는 양자 상태의 경우 그 에너지를 100% 정확하게 특정할 수 없다는 것입니다. 에너지의 평균값과 변동 폭은 물론 존재합니다만, 특정한 값을 집어서 말할 수 없는거죠. 상대성이론의 질량-에너지 등가원리에 입각해서, 불안정한 원소의 경우 질량의 확률분포를 가지고 있고 여기에 따라 지속시간 혹은 수명(lifetime)이 결정됩니다. 반면에 전자, 양성자 등의 안정적인 소립자들은 단일한 질량을 가지고 있습니다.
이번 포스팅에서는 원자핵의 동위 원소들을 주로 언급하겠지만, 쿼크와 반쿼크로 이루어진 강입자들 중에서도 불안정한 입자들이 존재하고, 이들은 더 안정적인 입자들로 붕괴하는 경향을 가지고 있습니다. 고정된 정지질량 대신 스펙트럼을 가지고 있기 때문에, 유한한 수명을 가지고 있는거죠.
방사성 붕괴가 일어나는 상황을 좀 더 정량적으로 살펴보도록 합시다. 불안정한 동위 원소들이 붕괴하면서 그 갯수가 시간에 따라 어떻게 변하는지 알아보기 위해서, 다음 두 가지 가정을 세워볼 수 있습니다.
- 방사성 붕괴를 일으키는 입자들의 갯수는 현재 입자들의 총 갯수에 따라 결정됩니다. 불안정한 동위 원소가 전혀 없다면 방사성 붕괴도 당연히 일어나지 않을 것이고, 동위 원소의 갯수가 많을수록 더 많은 입자들이 붕괴하겠죠. 결론적으로 단위 시간동안 붕괴하는 입자의 갯수가 현재 존재하는 입자의 총 갯수에다가 음의 상수를 곱한 형태를 상정해볼 수 있습니다.
- 동위 원소의 수명이 짧을수록 방사성 붕괴는 더 빠르게 일어납니다. 그래서 동위 원소의 갯수는 더 빠르게 감소하겠죠. 수명은 시간-에너지 불확정성에 따라 결정되는데요. 동위 원소의 질량의 변동 폭과 서로 반비례 관계에 있습니다.
이러한 가정들에 입각해서, 방사성 붕괴에 의해 입자의 갯수가 어떻게 변하는지를 알려주는 상미분 방정식을 세우는 것이 가능합니다.
입자의 갯수의 시간 변화율은 총 갯수에 음의 상수를 곱한것과 같은 1차 상미분 방정식이 됩니다. 이 방정식은 해석적인 해를 구할 수 있으며, 지수 붕괴의 양상을 띠게 되죠. 이러한 지수함수의 개념이 낮설게 느껴지는 분들에게는 다음 포스팅이 큰 도움이 되리라 생각합니다.
수학 상식 : 지수함수와 로그함수
이번에는 자연과학 및 공학 분야에서 중요하게 다뤄지는 오일러 상수 (Euler number 혹은 자연 상수)와 지수함수 (exponential function)에 대해 알아봅시다. 크기나 숫자 등이 폭발적으로 증가하는 현상
swstar.tistory.com
여기서 이제 반감기를 정의할 수 있는데요. 방사성 붕괴를 하는 입자의 갯수가 절반으로 줄어들기까지 걸리는 시간이 바로 반감기가 되겠습니다. 즉 반감기 만큼의 시간이 지나면 입자의 갯수가 절반으로 줄어들고, 반감기의 2배 만큼의 시간이 흐르면 입자의 갯수는 4분의 1이 되는 것입니다.
