수학 상식 : 벡터의 덧셈과 곱셈 (내적, 외적)

이번 포스팅에서는 두 개의 벡터 (vector)의 덧셈 및 곱셈 연산인 내적 (inner product)과 외적 (exterior product)의 정의와 특징에 대해 간략히 짚어보겠습니다. 벡터의 각 성분들을 가지고 이 연산들을 어떻게 수행하는지와 더불어, 벡터로서의 함수가 정의되는 힐베르트 공간 (Hilbert space)의 개념에 대해서도 살펴봅시다.

 

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벡터의 곱셈인 내적과 외적이 가지는 기하학적인 의미를 살펴보기 위해, 코사인 (cosine) 함수 및 사인 (sine) 함수들을 언급할텐데요. 이러한 삼각함수들이 어떻게 정의되며 어떠한 특징을 가지고 있는지에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세히 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 원주율과 삼각함수

 

벡터의 덧셈

많은 분들에게 복습이 될 벡터의 덧셈에 대해서 간략히 짚어봅시다. 더하고자 하는 두 벡터가 주어졌을 때 이들을 대변으로 하는 평행사변형을 상정하면, 그 대각선이 바로 두 벡터의 덧셈이라고 할 수 있습니다. 하나의 벡터를 두 벡터의 덧셈으로 분할하는 경우에도 똑같은 논리가 적용되는데요. 주어진 벡터를 대각선으로 하는 임의의 평행사변형을 그리면, 서로 다른 두 대변이 분할된 벡터들에 대응된다고 볼 수 있습니다.

 

 

참고로 벡터에다가 상수를 곱하게 되면, 방향은 그대로 유지한 채 그 크기가 상수에 비례해서 변하게 되는 특징이 있습니다. 예를 들어서 벡터에다가 2를 곱하면, 이는 2개의 동일한 벡터를 연속적으로 더한것과 같으므로 방향은 동일하고 크기가 2배가 되겠습니다. 이는 마름모 (두 대변의 길이가 동일한 평행사변형)의 내각이 매우 작아질 때, 대각선의 길이와 방향이 어떻게 변하는지를 상상해봐도 유추가 가능한 부분입니다.

 

벡터의 덧셈과 관련해서 선형 결합 (linear combination) 및 선형 독립 (linear independence)의 개념에 대해서도 같이 알고 있으면 좋습니다. 여러 개의 벡터를 선형 결합한다는 것은 각 벡터에다가 상수를 곱한 뒤에 이들을 모두 더하는 것을 말합니다. 그리고 각 벡터에다가 곱해지는 상수를 선형 결합의 계수 (coefficient)라고 부르죠. 선형 독립을 정의하기 위해서는 2개 이상의 벡터들의 선형 결합이 0이 되기 위한 조건을 따져볼 수 있는데요. 모든 계수들이 0인 경우에만 이게 가능하다면, 이 벡터들이 선형 독립인 집합을 이루게 됩니다.

 

지금까지는 방향성을 가진 객체로서의 벡터와 그 덧셈에 대해 기하학적인 관점에서 살펴봤습니다. 벡터가 서로 다른 방향으로 얼마나 뻗어있는지를 수치화해서 이들을 각 방향의 성분으로 표시하면 편리한데요. 이를 위해서는 먼저 기저 (basis) 벡터들이 필요합니다. 주어진 벡터를 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타내고, 이 결합의 계수들이 각 방향에 대응되는 성분인 것입니다.

 

다만 이게 가능하기 위해서는 기저 벡터들이 만족시켜야 하는 조건들이 있습니다. 첫번째로 기저 벡터들은 앞서 언급한 선형 독립을 이루어야 합니다. 그렇지 않으면 동일한 벡터라도 그 성분이 유일하게 정의되지 않겠죠. 두번째 조건은 완전성 (completeness)라고 불리는 것인데요. 간단히 말하자면, 그 어떤 벡터라도 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있어야 한다는 것입니다.

 

예를 들어서 3차원 공간의 벡터를 고려할 때, x축과 y축 방향의 단위 벡터들은 서로 선형 독립이기는 해도 기저 벡터의 역할을 할 수 없습니다. x-y 평면에 수직인 z축 방향으로 뻗어있는 벡터를 나타낼 수 없기 때문이죠. 결국 z축 방향의 단위 벡터까지 포함해서 선형 독립을 이루는 3개의 기저 벡터들이 있어야 하는 셈입니다.

 

벡터의 내적

정의와 특징

두 개의 벡터를 곱하는 첫번째 방법인 내적에 대해 살펴봅시다. 벡터의 내적은 두 개의 벡터를 곱해서 숫자를 얻는 연산으로서, 이들의 방향이 얼마나 겹치는지에 따라 달라지는 양입니다. 예를 들어서 피타고라스 정리가 적용되는 유클리드 공간의 경우, 두 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값을 곱하면 그게 곧 내적이 됩니다.

 

두 개의 벡터가 서로 평행하게 같은 방향을 향하고 있다면, 이들이 이루는 각도는 0이므로 그 코사인 값은 1이고 벡터의 내적은 벡터의 크기를 곱한 것과 같습니다. 같은 논리에 따르면 서로 수직을 이루는 두 벡터의 내적은 0이고, 서로 반대 방향을 향하는 두 벡터의 내적은 크기의 곱에 -1을 곱한것과 같습니다.

 

내적이 가지는 또 다른 중요한 특징으로는 선형성 (linearity)이 있습니다. 다시 말해서 선형 결합된 벡터의 내적은 곧 내적의 선형 결합과 같다는 것입니다.

 

주어진 벡터들의 성분들을 가지고 내적을 정의하기 위해서는 선형성과 더불어 기저 벡터들 사이의 내적을 알아둘 필요가 있는데요. 앞에서 언급한 기하학적인 정의에 따라, 3차원 유클리드 공간의 기저 벡터들인 x, y, z축 방향의 단위 벡터들의 내적을 쉽게 알 수 있습니다. 단위 벡터라는 설정에 따라, 동일한 기저 벡터 두개를 서로 내적하면 1입니다. 그리고 x, y, z축은 서로 직각이므로, 서로 다른 기저 벡터를 내적하면 0이 되겠죠.

 

 

두 벡터의 내적을 각 벡터들이 가진 성분들을 가지고 나타내는 것이 가능하고, 앞서 언급한 기하학적인 정의와 일맥상통한다는 것도 확인할 수 있습니다. 여기서는 2차원 평면 상의 벡터를 다루었지만, 이는 3차원 이상의 고차원에 대해서도 일반화가 가능한데요. 두 벡터를 포함하는 평면을 x-y 평면으로 잡고, x축과 y축 방향의 기저 벡터들을 상정하면 되겠습니다.

 

함수의 내적과 힐베르트 공간

앞에서는 벡터를 유한한 갯수의 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타내고, 선형 결합의 계수를 벡터의 성분과 연관지어서 살펴봤는데요. 이러한 개념을 함수에 대해서도 적용하고, 함수를 벡터로 간주할 수 있습니다. 다시 말해서 기저 함수들을 상정하고, 주어진 함수를 이 기저 함수들의 선형 결합으로 나타내는 것입니다. 그러면 이 선형 결합의 계수들을 성분으로 하는 벡터로서의 함수를 정의할 수 있게 되는거죠.

 

3차원 공간에서 3개의 독립적인 성분을 가진 벡터를 정의할 수 있듯이, 벡터로서의 함수가 정의되는 가상의 공간을 생각해볼 수 있는데요. 이를 힐베르트 공간이라고 부르며, 독일의 수학자 데이비드 힐베르트 (David Hilbert)에게서 그 이름을 따왔습니다. 힐베르트는 19세기 및 20세기 현대 수학 및 수리물리학의 발전에 지대한 공헌을 한 분이죠.

 

앞서 언급한 선형 결합과 선형 독립의 개념을 함수들에 대해서도 적용해볼 수 있습니다. 여러개의 함수들을 가지고 있을 때, 각 함수에다가 서로 다른 상수 (계수)를 곱한 뒤 이들을 모두 더하면 선형 결합이 됩니다. 주어진 함수들의 선형 결합이 전체 정의역에서 0인 것과 각 함수에 곱해지는 계수가 모두 0인 것이 필요충분조건이 된다면, 이들은 선형 독립이라 할 수 있습니다.

 

일반적으로 함수를 벡터로 나타내기 위한 기저 함수는 무한하게 많기 때문에, 서로 독립적인 성분의 갯수 역시 무한하다는 특징이 있습니다. 결론적으로 함수들이 정의되는 벡터공간은 무한한 차원을 가지게 되겠습니다. 유한한 차원에서 기하학적으로 정의했던 벡터의 경우와 마찬가지로, 기저 함수들은 서로 선형 독립이어야 하고 완전성을 갖춰야 합니다.

 

함수를 벡터로 생각하면, 정적분으로 이들의 내적을 정의할 수 있습니다. 적분의 정의와 특징 및 미분과의 관계에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세하게 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 미분과 적분 이해하기

 

유클리드 공간에서 정의되는 벡터들이 서로 직각을 이루는 경우, 이들의 내적이 0이 된다는 사실을 앞에서 살펴본 바 있죠. 이를 거꾸로 적용해서, 정적분을 통해 두 함수의 직각 혹은 직교성 (orthogonality)을 정의할 수 있습니다. 다시 말해서 두 함수와 가중 함수 (weight function)의 곱을 정적분 한 것을 내적으로 정의하고, 이게 0이 되는 경우 대상이 되는 두 함수가 서로 직각이라고 간주하는 것인데요. 한 가지 주의할 점은 이러한 직교성이 함수의 정의역과 정적분에 들어가는 가중 함수의 형태에 따라 달라진다는 것입니다.

 

 

두 개의 복소수 함수의 내적을 계산하는 경우, 일반적으로 하나의 함수에 대해서 켤레 복소수 함수를 가지고 정적분을 계산합니다. 이렇게 하면 양자역학의 파동함수를 벡터로 치환했을 때, 이와 관련된 행렬 연산을 더 손쉽게 할 수 있다는 장점이 있죠.

 

함수의 정의역과 가중 함수의 형태가 주어지면, 서로 선형 독립을 이루면서 완전성과 직교성을 갖춘 기저 함수들의 집합을 알아낼 수 있습니다. 그러면 임의의 함수를 이 기저 함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있고, 함수들의 내적을 성분들의 곱셈으로 나타내는게 가능합니다.

 

기저 함수가 1이고 정의역이 유한한 경우에 생각해볼 수 있는 기저 함수로는 삼각함수가 있습니다. 서로 다른 주파수 혹은 파수를 가진 사인 (sine) 및 코사인 (cosine)함수들은 앞서 언급한 선형독립, 완전성 및 직교성을 만족하는 집합을 이루는데요. 이는 푸리에 급수 전개 및 푸리에 변환의 수학적 기반이 된다고 볼 수 있으며, 더 나아가 주기성을 지닌 자연현상들을 이해하는데 큰 도움이 됩니다. 대표적인 예시로 파동이 있으며, 다음 포스팅에 더 자세하게 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 파동의 기본개념

 

벡터의 외적

정의와 특징

두 개의 벡터를 곱하는 또 다른 방법으로서 외적이 있습니다. 이는 두 개의 벡터를 곱해서 또다른 벡터 혹은 텐서를 얻는 연산인데요. 내적과는 달리, 곱하고자 하는 두 개의 벡터의 방향이 얼마나 벌어져 있는지와 관련이 있습니다. 다시 말해서 두 벡터가 같은 방향을 향하거나 정반대의 방향을 가리키고 있다면, 이들의 외적은 0이 됩니다. 두 벡터가 서로 직각을 이루고 있을때 외적의 크기가 최대가 됩니다.

 

3차원 유클리드 공간의 경우 두 벡터의 외적은 곱셈기호로 표시하고, 이들과 수직을 이루는 벡터로 주어집니다. 그리고 외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같죠. 예를 들어서 x-y 평면 상의 두 벡터가 있다면, 이들의 외적은 z축 방향을 향하게 됩니다.

 

내적의 경우와 마찬가지로 벡터들의 성분을 가지고 외적의 성분을 구할 수 있습니다. 이를 위해서는 먼저 기저 벡터들의 외적을 정의할 필요가 있는데요. x축과 y축 방향의 단위 벡터들의 외적은 z축 방향의 단위 벡터로 주어집니다. 비슷하게 y축과 z축 방향의 단위 벡터들의 외적은 x축 방향의 단위 벡터가 되고, 그렇게 뺑뺑이를 돌게 되죠.

 

 

한가지 더 짚고 넘어갈 점이라면, 벡터의 외적은 그 순서에 따라 방향이 달라지는 연산이라는 것입니다. 다시 말해서 벡터 V에다가 W를 외적한 것과 벡터 W에다가 V를 외적한 것은, 크기가 같지만 방향이 반대입니다. 외적을 통해서 벡터 V 곱하기 W를 했을 때의 방향을 가늠하는 더 쉬운 방법 중의 하나는 오른손을 이용하는 것인데요. 오른손 바닥이 V 방향을 향하게 한 뒤, W 방향으로 돌렸을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 외적의 방향이 되겠습니다.

 

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벡터의 외적은 두 벡터를 변으로 하는 평행사변형의 넓이와도 관련이 있습니다. 이러한 기하학적 해석을 더 고차원적인 공간에 대해서도 확장이 가능합니다만, 이를 위해서는 행렬식 (determinant)이라는 것을 고려하는 것이 더 편리합니다. 주어진 벡터들을 나열해서 정사각행렬을 구성하고 행렬식을 계산하는 것인데요. 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 행렬식 (determinant)과 역행렬

 

벡터의 내적과 외적은 물리학에서 운동에너지와 각운동량 등을 정의하는데에도 사용됩니다. 에너지, 운동량 및 각운동량에 대한 더 자세한 내용은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 에너지, 운동량과 각운동량

 

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같이 알고 있으면 좋은 수학 지식

 

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