수학 상식 : 위도, 경도와 지도 투영법

이번 포스팅에서는 구면 상의 위치를 정의하기 위한 좌표인 위도 (latitude) 및 경도 (longitude)의 개념과, 구면을 평면에 투영하여 지도를 만들기 위한 방법인 지도 투영법 혹은 도법 (cartography)에 대해 알아봅시다.

 

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위도와 경도는 기본적으로 각도이기 때문에, 이들을 다루기 위해서는 호도법과 삼각함수에 대해 알아둘 필요가 있습니다. 이들이 생소하게 느껴지는 분들은, 시작하기에 앞서서 다음 포스팅을 읽어보시면 큰 도움이 되리라 생각합니다.

 

수학 상식 : 원주율과 삼각함수

 

덧붙여 위도와 경도의 개념을 구면 좌표계와 연계해서 알아두면 좋습니다. 위도는 적도를 기준으로 하는 반면, 물리학에서 사용되는 구면 좌표계는 북극을 기준으로 하는 각도가 사용된다는 차이점은 있습니다. 그럼에도 불구하고 구면 상의 위치를 2개의 각도로 표현한다는 기본 취지는 동일하다고 볼 수 있습니다. 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 원통 좌표계와 구면 좌표계

 

위도와 경도

구면 상의 위치를 특정하는데 있어서, 기준점으로부터의 거리 대신 각도를 사용하는 것이 편리한 이유에 대해서 먼저 간략히 짚고 넘어갈 필요가 있습니다. 2차원 평면의 경우 서로 직각을 이루는 x축과 y축을 상정한 뒤, 기준점 또는 원점으로부터 x축과 y축 방향의 거리를 특정하면 모든게 명확합니다. 하지만 구면의 경우 길이나 거리를 통해서 위치를 특정하려고 하면 문제가 발생하기 때문에, 각도로 이를 대신할 필요가 있겠습니다.

 

이를 좀 더 자세히 살펴보기 위해, 두 사람 A와 B가 서로 다른 경로로 싱가포르에서 대한민국 서울로 이동하는 상황을 상정해 봅시다. 여기서 A는 싱가포르를 출발해서 북쪽으로 먼저 이동하고, 그 다음 동쪽으로 이동해서 서올에 도착합니다. 반면에 B는 동쪽으로 먼저 이동한 다음 북쪽으로 이동하죠. 이 때 남-북 방향으로는 A와 B 모두 4020 km 가량을 이동했습니다만, A와 B가 동-서 방향으로 이동한 거리는 서로 다릅니다. 동쪽으로 A는 2040 km 가량을 이동하는 반면 B는 2570 km 가량을 이동합니다.

 

요약하자면 출발지와 목적지가 같아도, 경로에 따라서 남-북 방향과 동-서 방향에서 각각 이동한 거리가 달라집니다. 바꿔 말하자면, 남-북 방향과 동-서 방향에서 이동한 총 거리가 얼마인지를 알아도 목적지를 정확히 특정할 수 없습니다. 예를 들어서 동쪽으로 총 1000 km 를 이동하고, 북쪽으로 총 1000 km 를 이동했다고 해도, 남-북 방향과 동-서 방향을 이동하는 순서에 따라 전혀 다른 지점에 도달하게 되는 것이죠. 좀 더 극단적인 예시로 적도에서 북극으로 이동하는 상황을 생각해 볼 수 있는데, 결론은 동일합니다.

 

이러한 경로 의존성 때문에 기준점으로부터의 거리는 휘어져 있는 곡면에서의 좌표계 역할을 하기 어렵습니다. 지구 표면처럼 구면으로 근사할 수 있는 경우라면 2개의 각도를 가지고 위치를 특정하는 것이 편리합니다. 구면 상의 주어진 지점과 구의 중심을 잇는 직선을 상정하고, 이 직선이 기준선 혹은 기준면과 이루는 각도를 재는 것입니다.

 

위도와 경도를 정의하기 전에 경선 (meridian)과 위선 (circle of latitude)의 개념에 대해 먼저 알아두면 좋습니다. 경선은 구면을 따라서 남극, 북극과 현재 위치를 잇는 반원으로 정의할 수 있습니다. 남극과 북극을 잇는 자전축에 수직인 평면을 상정하고, 이 평면과 구면의 교집합이 되는 원을 생각해 볼 수 있는데요. 이것이 바로 위도가 같은 점들을 모아놓은 위선이라고 할 수 있습니다.

 

 

위선들 중에서도 구면을 정확히 2개의 반구 (hemisphere)로 나누는 것이 적도입니다. 앞서 언급한 대로 현재 지점과 지구 중심을 잇는 직선을 상정한 뒤에, 그 직선과 적도면이 이루는 각도를 구한 것이 위도가 되죠. 경선과 자전축이 이루는 평면이 기준면과 이루는 각도를 가지고 경도를 정의할 수 있는데요. 여기서 기준면이라는 것은 남극, 북극과 영국의 그리니치 (Greenwich)를 포함하는 평면이 되겠습니다.

 

위도를 표기할 때는 각도 뒤에 N 또는 S자를 붙여서 북쪽과 남쪽을 각각 나타냅니다. 경도의 경우 그리니치를 기준으로 지구 자전 방향으로 잰 각도를 표기합니다. 경도를 표기할 때에도 각도 뒤에 E 또는 W자를 붙여서 동쪽과 서쪽을 각각 나타낼 수 있습니다.

 

특정 도시의 위도와 경도를 알아야 할 때가 있는데, 이 때 사용해 볼 수 있는 방법 중 하나는 구글에 물어보는 것입니다. 검색창에 "[도시이름] 위도 경도"라고 넣고 검색을 해 보면 해당 도시의 위도와 경도를 스니펫에 띄워줍니다.

 

 

예를 들어서 "서울 위도 경도"로 검색을 해 보면 서울의 위도와 경도를 알 수 있습니다. 위도는 북위 37.5665도 경도는 동경 126.9780도라고 나오는군요.

 

지도 투영법

이제 구면 상의 지리 정보를 2차원 평면 상에 투영하여 지도를 만드는 방법인 도법에 대해 알아봅시다. 한 가지 미리 짚고 넘어갈 점이라면, 지도를 만드는 과정에서 정보의 왜곡이 필연적으로 발생한다는 것입니다. 이는 평면과 구면의 기하학적인 차이에서 파생되는 것으로, 그 어떠한 도법도 피해갈 수 없는 문제입니다. 현재 사용되는 여러 도법들 사이의 차이는, 왜곡을 최대한 줄여서 온전하게 보존하고자 하는 정보들 사이의 우선순위에 있다고도 볼 수 있습니다.

 

 

원본 이미지 출처 : pixabay

주간 지도 / 야간 지도

(by Wikilmages)

 

이번 포스팅에서 소개할 도법들을 수학적으로 정의하기 위해 지수함수와 로그함수가 사용되고 있는데요. 이 함수들의 정의와 특징들에 대해 더 자세한 사항은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 지수함수와 로그함수

 

수학적으로 도법을 정의하는 방법은 지도 상의 가로 x축 및 세로 y축 상의 좌표를 위도와 경도에 대한 함수로 나타내는 것입니다. 이번 포스팅에서는 등장 방형 (equirectangular) 도법, 메르카토르 (Mercator) 도법 및 베르만 (Behrmann) 도법에 대해 알아봅시다.

 

 

등장 방형 도법

등장 방형 도법은 기원후 100년 즈음 해서 고안된 도법으로, 지도 상의 x 및 y 좌표가 경도와 위도에 대한 선형 함수로 나타나는 것이 특징입니다. 1차 다항식이 사용되기 때문에, 수학적으로 간단하다는 장점이 있죠. x 좌표와 경도 간의 비례상수와 y 좌표와 위도 간의 비례상수가 모두 1인 경우를 두고 평면 정사각형 (flat square) 투영이라고 하며, NASA 등의 기관에서 표준으로 채택하고 있기도 합니다.

 

메르카토르 도법

임의의 항로가 위선과 이루는 각도를 생각했을 때, 구면에서의 각도와 지도 상에서의 각도가 동일하게 지도를 그리는 방법을 생각해 볼 수 있는데요. 이것이 바로 메르카토르 도법이며, 16세기 중반에 이를 처음 고안한 제라르두스 메르카토르 (Gerardus Mercator)에게서 그 이름을 따왔습니다.

 

앞서 언급한 대로 지도 상에서 위선 또는 경선과 항로가 이루는 각도가 실제 지구 표면에서 잰 각도와 동일하기 때문에, 방향을 잘 잡아야 하는 항해에서 유용하게 사용할 수 있습니다. 이를 이용해서 지도 상에서의 y축과 지구 표면상의 경선 사이의 대응관계 역시 정의할 수 있습니다.

 

메르카토르 도법의 가장 큰 단점이라면, 북극과 남극을 지도상에 표시할 수 없다는 것인데요. 남극이나 북극에 접근할수록 지도 상의 y축에서의 위치가 무한하게 높아지기 때문입니다. 다시 말해서 유한한 높이의 지도 상에서 표시할 수 있는 위도에는 한계가 있으므로, 일반적으로는 특정 위도를 기준으로 그보다 더 높은 지역은 지도상에서 제외시키게 됩니다.

 

메르카토르 도법은 몇 가지 변종들이 존재하는데, 그 중 하나로 20세기 중반에 오스본 밀러 (Osborn M. Miller)가 제안한 밀러 도법이라는 것이 있는데요. 이 도법에서는 위도를 지도상의 y축에 대응시키기 전에 4분의 5를 곱하고, 메르카토르 도법의 공식으로 얻은 지도상의 세로 위치에다가 5분의 4를 곱해서 이를 상쇄하는 방식을 취하고 있습니다.

 

베르만 도법

베르만 도법은 원통형 등면 도법 중의 한 케이스입니다. 원통형 등면 (cylindrical equal-area) 도법은 지도 상의 면적이 실제 구면 상의 면적에 비례한다는 특징을 가지고 있는데요. 이 때문에 고워도로 갈수록 지도 상의 모양이 납작해지는 결과를 가져오게 됩니다.

 

이를 좀 더 자세히 짚어보기 위해서는 구면 상에서의 위선의 둘레가 고위도로 갈수록 줄어든다는 점에 먼저 주목할 필요가 있습니다. 직사각형 모양의 지도에서는 위선의 길이가 일정하기 때문에, 고위도로 갈수록 동-서 방향의 거리가 실제 거리보다 확대되어 지도에 표시된다는 것을 유추할 수 있겠습니다. 따라서 면적을 일정하게 유지하기 위해서는 남-북 방향의 거리를 축소시켜 지도에 나타낼 필요가 있는 것입니다.

 

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출처 : 위키피디아

이 포스팅에 언급된 도법 이외에도 여러가지 도법들이 사용되고 있습니다.

 

List of map projections - Wikipedia

 

두 도시의 위도와 경도를 알면, 지구 상에서의 최단거리를 구할 수 있습니다. 이에 대한 자세한 수학적 원리는 다음 포스팅에 더 자세하게 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 위도, 경도로부터 최단거리 계산하기

 

구면 상에서 최단 경로를 따라가는 항공기의 궤적을 평면 상에 그려보면 일반적으로 곡선의 형태를 띠고 있는 경우가 많습니다. 이것 역시 구면 상의 경로를 평면 상에 투영하는 방식과 관련이 있죠. 구면 상에서의 최단 경로를 따라서 이동할 때 위도 및 경도가 시간에 따라 어떻게 달라지는지에 대한 더 자세한 내용은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

C/C++ 반복-이완 계산법으로 알아보는 비행경로