물리학 상식 : 유체의 정역학적 평형

 

이번 포스팅에서는 자유롭게 흐를 수 있는 유체가 움직이지 않는 역학적 평형상태에 대해서 다뤄보겠습니다. 이를 두고 유체의 정역학적 평형 (hydrostatic equilibrium)이라고 하는데요. 이러한 상태에서 우리가 만족시켜야 하는 미분방정식이 어떤 형태를 띠고 있는지 살펴보겠습니다.

 

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미분방정식에 대해 간단히 말하자면, 관심사가 되는 함수의 미분이 어떤 특징을 가지고 있는지를 정의한 방정식을 말합니다. 미분과 미분방정식의 개념이 생소하게 느껴지신다면, 시작하기에 앞서서 다음 포스팅을 읽어보시면 큰 도움이 되리라 생각합니다.

 

수학 상식 : 미분과 적분 이해하기

 

유체의 정역학적 평형 상태를 정의하기 위해서는 압력과 상태 방정식의 개념에 대해서도 알아둘 필요가 있습니다. 간략히 말해서 단위 면적당 이에 수직인 방향으로 가해지는 힘의 크기가 압력이라고 할 수 있고, 상태 방정식을 통해 밀도와 압력 간의 관계를 알 수 있습니다. 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 압력, 밀도와 상태 방정식

 

맨 먼저 짚고 넘어갈 점이 있다면, 흐르는 속도가 없는 평형상태에 도달했다고 하더라도 유체를 이루는 분자들은 계속해서 운동을 한다는 것입니다. 서로 다른 분자들과 상호작용을 하면서 운동 방향과 속도가 바뀌기도 하는데요. 그럼에도 불구하고 거시적인 관점에서 일정 부피 안에 있는 분자들의 평균 속도는 0이 됩니다.

 

그러면 얼마나 부피가 커야 거시적인 스케일인가 하는 질문이 생길 수 있는데, 이는 유체를 이루는 분자나 입자들 간의 평균 거리와 관련이 있습니다. 정확히 말하자면 상호작용이나 충돌 없이 날아갈 수 있는 평균적인 거리와 관련이 있죠. 이를 평균자유행로 (mean free path)라고 부릅니다. 평균자유행로보다 매우 길다면 거시적인 스케일이라고 볼 수 있는 것입니다.

 

예를 들어서 물의 경우 분자들이 가까이 근접했을 때 충돌이 일어난다고 볼 수 있고, 물의 밀도와 연관지어서 생각해보면 물 분자의 평균자유행로는 나노미터 단위라는 결론을 얻을 수 있습니다. 이는 밀리미터의 100만분의 1이기 때문에, 물의 흐름을 다루는 데 있어서는 밀리미터 역시 거시적인 스케일이라고 간주할 수 있겠습니다.

 

유체에 중력이나 전자기력 등의 외력이 작용하는 경우, 알짜힘이 0이 되는 역학적 평형상태에 도달하기 위해서는 외력을 상쇄시킬 수 있는 별도의 힘이 있어야 할텐데요. 불균일한 압력이 그 역할을 하게 됩니다. 다시 말해서 압력이 높은 장소에서 낮은 장소로 밀어내는 힘과 외력의 합이 0이 되는 것이라고 할 수 있죠. 이렇게 해서 거시적인 관점에서의 정역학적 평형이 이루어지는 것입니다.

 

정역학적 평형상태를 수학적으로 정의하는 방법은 압력을 위치에 대한 함수로 구하는 것입니다. 이는 일반적으로 미분방정식으로 주어지는데, 유체에 외력이 작용하는 방식에 따라 그 형태가 달라진다는 특징이 있습니다. 가장 단순한 예시는 지구 표면을 평면에 가깝다고 가정하고, 압력을 고도에 대한 함수로 구하는 경우입니다. 이는 고등학교 지구과학 교과서에도 등장하죠.

 

 

엄밀하게 따지면 지구 표면은 구면에 가깝습니다만, 지구 대기권을 대류권에서부터 열권까지 포함시켰을 때의 두께는 지구 반지름에 비해 매우 작기 때문에 지구 표면을 평면으로 간주해도 큰 문제는 되지 않습니다. 대기권 꼭대기 위에 올라가서 내려다봐도 지구 표면의 곡률이 그렇게 크지 않을 것이라는 거죠.

 

천체의 내부가 유체로 채워져 있는 경우에도 정역학적 평형을 통해 내부 구조를 알아볼 수 있습니다. 목성이나 토성 같은 행성들이 이에 해당된다고 볼 수 있는데요. 주의해야 할 점이 있다면, 압력에 대한 미분방정식을 수립하는데 있어서 천체의 모양을 고려해야 한다는 것입니다. 구형에 가까운 행성의 경우라면, 중심으로부터의 거리에 대한 함수로 압력과 밀도를 구하는 것이 타당합니다.

 

 

평면의 경우에 비해 더 복잡해지기는 하지만, 비슷한 논리에 따라 미분방정식을 세울 수 있습니다.

 

이상으로 유체의 정역학적 평형 상태에 대한 개념과 예시들을 알아보았습니다. 앞서 살펴보았던 미분방정식에는 유체의 압력 뿐만 아니라 밀도 역시 개입하고 있는 것을 보셨을텐데요. 따라서 유체의 평형상태를 완벽하게 파악하기 위해서는 밀도와 압력 사이의 관계를 알려주는 상태 방정식 역시 필요하다고 할 수 있습니다.

 

정역학적 평형을 적용할 수 있는 예시로서 바다에서의 수압을 깊이에 따른 함수로 구하는 경우를 생각해볼 수 있습니다. 여기에 대한 더 자세한 내용은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

C/C++ Runge-Kutta 방법으로 알아보는 심해 압력

 

이번 포스팅에서는 거시적인 관점에서 압력이라는 물리량에 대해 다루었지만, 정역학적 평형상태를 미시적인 관점에서 살펴보면 유체의 확산과도 관련이 있습니다. 외력이 작용함에도 불구하고 유체를 이루는 분자들이 한 곳에 눌러앉아 있지 않는 이유는 밀도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산이 이루어지는 경향 때문입니다. 브라운 운동의 개념을 통해 확산현상에 대해 통계적으로 다뤄볼 수 있는데요. 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 유체의 확산과 브라운 운동