물리학 상식 : 유체의 확산과 브라운 운동

여기서는 유체 (fluid)를 이루는 분자나 입자들이 서로 상호작용함에 따라 확산 (diffusion)이 이루어지는 현상과, 이를 통계적으로 다루기 위한 개념인 브라운 운동 (Brownian motion)에 대해서 알아봅시다. 미시세계에서 분자들이 상호작용하는 방식이 반영되는 확산 계수 (diffusion coefficient)라는 개념에 대해서도 짚어보겠습니다.

 

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앞에서 확산 현상을 통계적으로 다룬다고 언급했는데, 이를 위한 방법은 유체를 이루는 입자가 주어진 시간동안 특정한 거리만큼 이동할 확률을 상정하는 것입니다. 입자의 위치는 연속적인 값을 가지기 때문에 확률밀도함수를 다뤄야 하는데요. 확률밀도함수의 개념과, 이로부터 평균 및 표준편차를 계산하는 방법에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 확률 분포와 확률밀도함수

 

이번 포스팅에서는 유체를 이루는 입자의 갯수 밀도가 시간에 따라서 어떻게 변하는지를 중점적으로 살펴볼텐데요. 갯수 밀도는 간단히 말해서 단위 부피당 입자가 평균적으로 몇 개가 있는지를 나타내는 개념입니다. 갯수 밀도나 에너지 밀도 등은 상태 방정식을 통해서 유체의 압력과도 연결이 되어 있는데, 여기에 대한 더 자세한 내용은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 압력, 밀도와 상태 방정식

 

브라운 운동은 이 개념을 처음으로 체계화한 로버트 브라운 (Robert Brown)에게서 그 이름을 따왔습니다. 브라운 운동은 물리학, 화학 및 통계학에서 흔히 등장합니다만, 로버트 브라운은 식물학자였습니다. 물 위를 부유하는 꽃가루들의 운동을 살펴보는 과정에서, 이것이 꽃가루와 물 분자들 간의 물리적인 상호작용에 의한 결과라는 것이 밝혀졌습니다. 그리고 알베르트 아인슈타인이 이를 통계적으로 설명하는 이론을 발표하게 됩니다.

 

유체 내에서 표류하는 입자들의 확산 현상을 통계적으로 다루기 위한 첫 번째 단계는 입자들 끼리의 상호작용으로 인한 위치의 변화를 나타내는 확률밀도함수를 상정하는 것입니다. 주어진 시간동안 입자가 특정한 변위만큼 이동할 확률을 정의하는 것인데요. 입자의 변위에 대한 확률밀도함수는 유체 내에서 입자들의 미시적으로 상호작용하는 방식에 따라 결정되기 때문에, 거시적인 관점으로부터 이를 특정하기는 어렵습니다. 그럼에도 불구하고 확산 현상을 통해 입자의 위치가 얼마나 큰 편차를 가지는지를 추정할 수 있습니다.

 

입자의 변위에 대한 확률밀도함수를 상정하면, 갯수 밀도가 주어진 시간동안 어떻게 변하는지를 고려해볼 수 있습니다. 현재 특정한 위치에 있는 입자들은 과거에는 다른 위치에 있다가 이동해 온 것일텐데, 과거에 입자가 있었던 위치는 여러군데가 있을 수 있죠. 다만 입자가 과거에서 현재까지 이동한 거리는 특정한 확률 분포를 따르기 때문에 여기서 확률밀도함수가 개입하게 됩니다.

 

 

입자들의 갯수 밀도의 불균일성으로 인해 그 분포가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 알려주는 편미분 방정식을 얻을 수 있게 되는데요. 이를 확산 방정식 (diffusion equation)이라고 하며, 시간에 대한 1차 편미분과 공간에 대한 2차 편미분이 등장합니다.

 

확산 방정식에 등장하는 비례상수를 확산 계수 (diffusion coefficient)라고 부릅니다. 확산 계수는 유체 내에서 발생하는 입자들 끼리의 상호작용과 관련이 있으며, 유체의 행동 양상을 이해하는데 있어서 매우 중요한 물리량입니다. 확산 계수는 입자의 변위가 얼마나 넓게 퍼질 수 있는지와 관련이 있습니다. 정확히 말하자면, 확산 계수에 시간 간격을 곱하면 입자의 변위의 분산을 알 수 있게 되는 것입니다.

 

컵에 물을 채워넣고 잉크 방울을 그 위에 떨어뜨리면, 잉크를 이루는 분자들이 물 분자들과 상호작용을 하며 확산이 일어나게 됩니다. 이러한 상황을 근사적으로 다루는 방법으로는 모든 분자들이 특정한 장소에 몰려있는 초기조건을 상정하는 것인데요. 이 경우 확산 방정식의 해는 가우스 함수의 형태로 주어지게 됩니다. 앞에서 언급한대로 확산계수와 시간을 곱한 것의 두배가 위치의 분산으로 주어지는 것을 확인할 수 있습니다.

 

 

잉크 분자들이 물 분자들과 상호작용하면서 점점 주위로 확산되고, 잉크 분자의 갯수 밀도는 시간이 지남에 따라 넓게 퍼지게 되는 것입니다.

 

앞에서는 유체를 표류하는 모든 입자들의 초기 위치가 고정된 상황에 대해서 다뤘습니다만, 임의의 초기 분포가 주어진 상황에 대해서도 입자들의 확산 양상을 계산해볼 수 있습니다. 무한히 넓은 공간의 경우, 생각해볼 수 있는 한 가지 방법은 푸리에 변환과 역변환을 사용하는 것입니다.

 

 

입자들의 초기 분포를 나타내는 갯수 밀도가 공간에 대한 함수로 주어졌을 때, 푸리에 변환을 통해 파수 (wave number)에 대한 함수로 나타내볼 수 있습니다. 다시 말해서 서로 다른 파장을 가진 사인함수나 코사인 함수들의 중첩으로 나타내는 것인데요. 각 파장 혹은 파수의 기여분이 시간에 따라 어떻게 달라지는지는 확산 방정식에 의해서 결정됩니다. 결과적으로 특정 시각에서 서로 다른 파장의 기여분을 전부 취합하는 푸리에 역변환을 거치면 확산 방정식의 해를 구할 수 있게 되는 것입니다.

 

유체에 중력이나 전자기력 등의 외력이 작용하는 경우에 대해서도 확산 현상을 다뤄볼 수 있는데요. 이를 위해서는 먼저 유동성 (mobility)라는 개념을 도입할 필요가 있습니다. 유체역학에서의 유동성이란 유체가 외력에 얼마나 잘 반응해서 흐르는지를 수치화한 개념으로서 점성 (viscosity)과도 관련이 있습니다. 간단한 예시로서 물과 벌꿀이 낙하하는 상황을 생각해볼 수 있죠. 물은 주르륵 떨어지지만, 벌꿀은 느리게 질질 흘러내립니다. 벌꿀의 유동성이 물에 비해서 떨어지는 셈입니다.

 

유체를 구성하는 입자가 외력을 받는 경우에도 일정 속력 이상으로 빨라지기는 어렵습니다. 다른 입자들과의 충돌로 인한 반작용이 일종의 저항력 역할을 하기 때문에죠. 외력과 저항력의 알짜힘이 0이 되는 경우에 입자는 일정한 종단속도 (terminal velocity)로 움직이게 됩니다. 여기서 종단속도는 외력으로 작용하는 힘 벡터에 유동성을 곱한 형태로 주어지는데요. 외력이 강해질수록 이를 상쇄시키기 위해서는 더 큰 저항력이 필요하고, 입자의 속력 역시 빨라야 한다는 점이 반영된 개념입니다.

 

앞에서 확산 방정식을 도출한 것과 비슷한 방식으로, 외력이 작용할 때의 확산을 나타내는 미분 방정식을 얻을 수 있습니다. 외력이 작용하는 경우 갯수 밀도의 공간에 대한 1차 미분 역시 개입한다는 차이점이 있죠.

 

 

입자들의 흐름을 나타내는 벡터 (current vector)를 도입해서 확산 방정식을 재구성할 수도 있는데요. 유체가 흐르는 것은 방향성을 띠고 있기 때문에 벡터가 필요하고, 갯수 밀도의 시간변화율이 흐름 벡터의 발산과 관련이 있습니다. 그리고 흐름 벡터를 정의하는데 있어서 갯수 밀도의 구배 (gradient)와 종단속도가 개입하죠. 외력이 작용하지 않는 경우, 픽의 확산 법칙 (Fick's law of diffusion)을 얻게 됩니다.

 

확산 방정식을 통해 역학적 평형 상태에 대해서도 생각해볼 수 있습니다. 예를 들어서 지구의 대기권을 생각해볼 수 있는데요. 지구에 의한 중력이 작용함에도 불구하고 대기를 이루는 분자들이 땅에 눌러앉아 있지 않는 이유가 바로 확산 때문입니다. 지구의 중력은 대기 분자들을 더 낮은 곳으로 끌어들이기 때문에, 고도가 낮아질수록 대기의 밀도는 높아지게 되겠죠. 그럼에도 불구하고, 밀도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산되는 경향성 때문에 모든 분자들이 땅에 밀집되지 않습니다. 결과적으로 대기의 밀도는 고도가 높아짐에 따라 점진적으로 감소하게 됩니다.

 

확산에 의한 흐름이 존재하지 않는 상황을 이상기체의 정역학적 평형상태와 결부지어서 생각해보면 확산 계수, 유동성 및 온도 사이의 관계 역시 알 수 있습니다.

 

미시적인 관점에서 무작위적으로 운동하는 입자나 분자들의 상호작용으로 인해 확산이 일어나는 현상을 살펴보았는데, 거시적인 관점에서는 유체의 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산되는 것이라고도 할 수 있습니다. 앞에서 언급한 정역학적 평형 또한 압력의 불균일성에 대한 정보를 알려주는데요. 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 유체의 정역학적 평형