수학 상식 : 행렬 (matrix)의 덧셈과 곱셈

이번 포스팅에서는 수학 및 과학 분야에서 널리 쓰이는 개념인 행렬의 연산에 대한 기본적인 내용을 알아봅시다. 행렬의 덧셈과 곱셈이 어떻게 정의되는지와 더불어, 교환자 (commutator) 및 반교환자 (anti-commutator) 등의 확장된 개념들에 대해서도 짚어보겠습니다.

 

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먼저 행렬에 대해서 간단히 말하자면, 숫자들이 사각형 모양으로 배열되어 있는 일종의 집합체라고 볼 수 있는데요. 여기서 숫자는 실수가 될 수도 있고 복소수가 될 수도 있습니다. 가로로 놓인 숫자들을 행 (row)이라고 부르고, 세로로 놓인 숫자들을 열 (column)이라고 부릅니다. 이말인즉슨, 행을 세로로 나열하거나 열을 가로로 나열하면 사각형 모양의 행렬이 된다고도 할 수 있습니다.

 

행렬에는 사각형 모양으로 숫자 혹은 성분 (element)들이 배치되어 있기에, 성분들의 총 갯수는 행의 갯수와 열의 갯수를 곱한 것과 같겠죠. 행과 열의 갯수가 같은 경우, 정사각형 모양이 되기 때문에 이를 두고 정사각행렬 (square matrix)이라고 부릅니다. 특정한 성분을 나타낼때는 행렬을 나타내는 기호에다가 윗첨자나 아랫첨자로 행과 열의 위치를 표시하는 방법이 많이 사용됩니다.

 

두 행렬을 더한다는 것은 두 행렬의 각 성분들을 더하는 것과 같습니다. 행렬의 덧셈 혹은 뺄셈이 성립하기 위한 조건은 두 행렬의 크기가 같아야 한다는 것인데요. 행렬들이 정사각형 모양을 띠고 있을 필요는 없습니다만, 두 행렬의 행의 갯수가 서로 같아야 하고 열의 갯수도 서로 같아야 합니다. 안그러면 두 행렬의 성분들이 서로 대응되지 않겠죠.

 

 

덧셈의 항등원으로서 영행렬 (zero matrix)이라는 것을 생각해볼 수 있습니다. 영행렬은 말 그대로 모든 성분이 0인 행렬로서, 임의의 행렬에 영행렬을 더하거나 빼면 본래의 행렬이 그대로 유지된다는 특징이 있습니다. 추가로 역원에 대해서도 쉽게 유추가 가능한데요. 주어진 행렬의 역원은 각 성분에다가 -1을 곱한것과 같습니다. 다시 말해서 임의의 행렬과 그 역원을 더하면 항등원인 영행렬이 되는 것입니다.

 

두 행렬의 곱셈은 성분들의 곱셈을 포함하는데, 특별한 규칙을 따릅니다. 두 행렬을 곱한 행렬의 성분은 좌측에 있는 첫번째 행렬의 행과 우측에 있는 두번째 행렬의 열에 의해 결정되는데요. 자세히 말하자면 첫번째 행렬의 행과 두번째 행렬의 열을 각각 벡터로 상정하고, 이들의 내적을 계산하면 행렬의 곱셈이 정의되는 것입니다.

 

 

여기서 한 가지 중요한 점을 짚고 넘어가자면, 첫번째 행렬의 행 벡터 (row vector)와 두번째 행렬의 열 벡터 (column vector)의 크기가 같아야 한다는 것입니다. 그래야 내적이 정의되겠죠. 다시 말해서 첫번째 행렬의 열의 갯수와 두번째 행렬의 행의 갯수가 같아야 한다는 것입니다. 두 행렬을 곱한 행렬의 크기, 즉 행과 열의 갯수도 따져볼 수 있습니다. 행의 갯수는 첫번째 행렬의 행의 갯수와 동일한 반면, 열의 갯수는 두번째 행렬의 열의 갯수와 같습니다.

 

곱셈의 항등원으로서 단위행렬 (unit matrix)이라는 것이 있습니다. 대각선 위의 성분들만 1이고 나머지는 0인 정사각행렬이죠. 참고로 정사각행렬이 아닌 경우에는 좌항등원과 우항등원이 다릅니다. 단위행렬의 형태를 띠고 있다는 점은 동일하지만, 그 크기가 다르죠. 좌항등원이 되는 단위행렬은 그 크기가 행의 갯수와 동일하지만, 우항등원이 되는 단위행렬은 그 크기가 열의 갯수와 같습니다.

 

두 행렬의 곱셈에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 다시 말해서 곱셈의 대상이 되는 두 행렬이 나오는 순서에 따라 그 결과가 달라진다는 것인데요. 이는 곱한 행렬의 특정한 성분을 구하는데 있어서 첫번째 행렬의 행과 두번째 행렬의 열이 개입한다는 점으로부터 유추가 가능한 부분입니다. 이러한 사실에 입각해서 두 정사각행렬의 교환자 (commutator) 및 반교환자 (anti-commutator) 역시 정의할 수 있습니다.

 

여러 미지수들이 포함된 연립 선형방정식이 있다면, 이를 행렬의 형태로 나타내는 것이 가능합니다. 관심사가 되는 미지수들을 세로로 나열하고 이를 열 벡터로 상정한 뒤, 정사각행렬과 미지수들의 열 벡터의 곱셈이 만족시켜야 하는 조건을 정의하는 것입니다.

 

 

정사각행렬의 역행렬을 구하면, 연립 선형방정식의 해를 구할 수 있게 되는데요. 역행렬은 곱셈의 역원으로서, 이를 구하기 위해서는 행렬식 (determinant)라는 것을 사용하는 것이 좋습니다. 행렬식의 정의와 이로부터 역행렬을 계산하는 방법에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 행렬식 (determinant)과 역행렬

 

정사각행렬이 주어진 경우, 이 행렬이 가진 고유값 (eigenvalue)과 고유벡터 (eigenvector)들을 구하면 행렬의 특징을 이해하는데 큰 도움이 됩니다. 이러한 고유값 문제는 물리학을 포함한 과학 및 공학 분야에서도 매우 중요하게 다뤄지는데요. 관련 내용은 다음 포스팅에 더 자세하게 소개되어 있습니다.

 

수학 상식 : 행렬의 고유값과 고유벡터