물리학 상식 : 로렌츠 변환과 민코프스키 공간

여기서는 특수상대성 이론의 무대가 되는 시공간 (spacetime)인 민코프스키 공간 (Minkowski space)과 서로 다른 관찰자들을 이어주는 로렌츠 변환 (Lorentz transformation)에 대해서 알아봅시다.

 

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이번 포스팅에서 다루는 개념들은 특수상대론의 시간지연 (time dilation) 및 길이수축 (length contraction)과 밀접한 관련이 있는데요. 민코프스키 시공간과 로렌츠 변환의 개념에 익숙해지면, 시간지연 및 길이수축을 더 체계적으로 이해해 볼 수 있습니다. 광속 불변의 원리에 입각한 사고실험을 통해 시간지연과 길이수축이 어떻게 도출되는지에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 특수상대론의 시간지연과 길이수축

 

민코프스키 공간

독일의 수학자 헤르만 민코프스키 (Hermann Minkowski)에게서 그 이름을 따온 민코프스키 공간은 3차원의 유클리드 공간에 1차원의 시간이 합쳐진 4차원 시공간을 가리키는 개념입니다. 여기서 관찰자는 시공간에서의 좌표계를 생각해볼 수 있는데요. 위치와 시각을 합쳐서 사건 (event)이라고 부릅니다. 따라서 사건은 x, y, z축 상의 위치와 시각 t의 값에 따라 특정이 되는 것입니다.

 

민코프스키 공간은 관찰자에 따라서 전기장과 자기장이 어떻게 변하는지를 규명하는 과정에서 등장한 개념이지만, 아인슈타인의 특수상대성 이론과도 밀접한 관련이 있습니다. 이를 좀 더 자세히 살펴보기 위해, 두 사건 사이의 시간 간격과 변위가 관찰자에 따라서 어떻게 달라지는지를 생각해볼 수 있습니다. 시간 간격은 두 사건의 시각의 차이라고 할 수 있고, 변위는 두 사건의 위치의 차이입니다.

 

시간지연 및 길이수축이 일어남에 따라 두 사건 사이의 시간 간격과 변위는 관찰자의 운동상태에 따라 변하게 됩니다. 하지만 등속운동을 하는 관잘자들은 이구동성으로 동의하는 값이 있는데요. 시간 간격의 제곱에서 변위의 제곱을 뺀 값에 대해서는 이견이 없는 것입니다.

 

 

시간 간격의 제곱에서 변위의 제곱을 뺀 값이 등속운동을 하는 모든 관찰자에게 동일하다는 것은 시간지연과도 부합하는 것입니다. 서로 다른 두 사건이 같은 위치에서 일어나는 관찰자가 잰 시간간격은 두 사건 사이의 고유시간 (proper time)이 되죠. 등속 운동을 하는 다른 관찰자가 봤을때는 두 사건이 다른 위치에서 일어나기 때문에 시간 간격이 고유시간과는 달라야 하고, 이에 따라 시간지연이 일어나게 됩니다.

 

로렌츠 변환

민코프스키 시공간에서 임의의 두 사건에 대해, 시간 간격의 제곱에서 변위의 제곱을 뺀 것이 등속운동을 하는 모든 관찰자에게 동일하다고 앞에서 이야기했는데요. 그러면 이러한 조건을 만족시키는 선형 변환이 무엇인지를 생각해볼 수 있고, 그것이 바로 로렌츠 변환이라고 할 수 있습니다.

 

네덜란드 물리학자 헨드릭 로렌츠 (Hendrik Lorentz)에게서 그 이름을 따온 로렌츠 변환 역시 역사적으로는 고전 전자기역학과 밀접한 관련이 있습니다. 등속운동을 하는 모든 관찰자에게 물리법칙은 동일해야 하고, 따라서 맥스웰 방정식의 형태도 같아야 합니다. 이를 위해서는 다른 관찰자들이 측정한 시공간 좌표 및 전기장과 자기장이 로렌츠 변환에 의해 연결되어야 한다는 게 증명된 바 있죠.

 

로렌츠 변환에 대해서 좀 더 수학적으로 알아봅시다. 먼저 상대적으로 등속 운동을 하는 두 관찰자 사이의 변환을 생각해볼 수 있는데, 이를 두고 로렌츠 부스트 (Lorentz boost)라고 부릅니다.

 

 

두 관찰자가 측정한 시간 간격과 변위들의 상관관계를 행렬로 나타내는 것이 가능합니다. 그리고 시간 간격의 제곱에서 변위의 제곱을 뺀 값이 불변 (invariant)이라는 것도 증명이 가능하고요.

 

로렌츠 부스트의 개념과 더불어 급속도 (rapidity)의 개념에 대해서도 알아두면 좋습니다. 속도와 급속도는 쌍곡 삼각함수를 통해 연결되어 있는데요. 속도를 광속으로 나눈것이 급속도의 쌍곡탄젠트 값이라고 볼 수 있습니다. 급속도의 개념은 두 개 이상의 부스트 변환을 결합하는데 있어서 특히 유용합니다. 예를 들어서 세 관찰자 A, B, C가 있다면, A와 C 사이의 상대 급속도는 A와 B 사이의 상대 급속도에다가 B와 C사이의 상대 급속도를 더한 것과 같습니다.

 

여기서는 단일한 방향의 부스트에 대해 다루었지만, 3차원 공간에서의 상대적인 운동은 3개의 서로 다른 방향에서 일어날 수 있고 그에 대응되는 부스트 변환들이 존재합니다. 뿐만 아니라 변위의 크기를 유지시키는 회전변환도 생각할 수 있고, 이는 3개의 서로 다른 회전축을 가질 수 있죠. 결과적으로 3가지의 부스트와 3가지의 회전변환이 로렌츠 변환을 구성하게 됩니다.

 

로렌츠 변환은 두 사건 사이의 간격 뿐만 아니라, 일반적인 벡터나 텐서량에 대해서도 성립합니다. 여러 관찰자들이 측정한 벡터나 텐서의 성분들이 어떤 상관관계를 가지는지가 로렌츠 변환에 따라 주어지는 것입니다.

 

 

대표적인 예시로서 에너지-운동량 4차원 벡터가 있습니다. 정지질량 에너지와 운동에너지의 합을 시간 성분으로 하고, 운동량을 공간 방향의 성분으로 하는 4차원 벡터인데요. 동일한 물체라도 관찰자의 운동 상태에 따라 에너지와 운동량의 값이 달라지고, 이는 로렌츠 변환에 의해 주어집니다.

 

로렌츠 변환을 통해 물체의 속력에 따라 에너지와 운동량이 어떻게 달라지는지도 알아볼 수 있습니다. 물체와 같은 속도로 운동하는 관찰자가 보기에는 물체가 정지해 있겠죠. 따라서 운동량이 0인 반면, 에너지는 정지질량 에너지 엠씨스퀘어로 주어집니다. 이를 가지고 움직이는 물체를 보는 관찰자의 입장에서 에너지와 운동량이 어떤 값을 가지는지를 구할 수 있는 것입니다. 참고로 물체의 속력이 광속에 가까워짐에 따라 에너지와 운동량이 무한대로 발산하게 된다는 것을 볼 수 있고, 이는 정지한 물체를 빛보다 빠르게 가속시키는 건 불가능하다는 의미로 해석할 수 있겠습니다.

 

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고전역학에서 에너지와 운동량에 대한 기본적인 개념에 대해서는 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 에너지, 운동량과 각운동량

 

특수상대론적인 도플러 효과를 정량적으로 이해하는데 있어서도 로렌츠 변환을 사용할 수 있는데요. 관찰자와 광원 사이의 상대적인 운동에 따라 관측되는 파장과 주파수 등이 달라지는 도플러 효과에 대한 더 자세한 내용은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 도플러 효과 (Doppler effect)