물리학 상식 : 원심력과 구심력

여기서는 물체의 운동방향이 지속적으로 변하는 공전운동을 기술하는데 있어서 필수적인 개념인 원심력 (centrifugal force)과 구심력 (centripetal force)에 대해서 알아봅시다. 공전궤도의 반지름 및 공전속도에 따라 원심력과 구심력이 어떻게 달라지는지 살펴보고, 일반적인 곡선 궤적을 따르는 물체의 운동에 대해서도 짚어보겠습니다.

 

반응형

 

구심력은 운동 방향이 변하는 물체에 작용하는 힘이라고 볼 수 있습니다. 운동 방향이 변한다는 것은 속도 벡터의 방향이 변하는 것과 동일하다고 볼 수 있는데요. 이를 위해서는 궤적이 휘어지는 방향을 향해서 작용하는 알짜힘이 필요하고, 이것이 바로 구심력이라고 할 수 있습니다. 구심력은 물체를 가속시키거나 감속시키지는 않고, 운동 방향만을 바꾸기 때문에 구심력의 방향은 속도 벡터에 수직이 됩니다.

 

구심력의 크기와 방향을 정량적으로 살펴보는 가장 간단한 방법은 2차원 평면 상에서 등속 원운동을 하는 물체를 상정하고, 물체에 가해지는 힘을 시간에 따른 함수로 구하는 것입니다. 원형 궤도의 중심을 원점으로 하고, 위치 벡터를 시간에 대해 미분하면 속도 벡터를 구할 수 있겠죠. 그리고 속도 벡터를 시간에 대해 미분한 것이 가속도 벡터가 되겠습니다. 마지막으로 뉴턴의 운동법칙에 따라 가속도 벡터에 질량을 곱하면, 물체에 작용하는 알짜힘의 크기와 방향을 알 수 있게 됩니다.

 

 

등속 원운동을 유발하는 구심력의 크기는 물체의 속력의 제곱에 비례하고 궤도 반지름에 반비례한다는 것을 볼 수 있습니다. 만약 공전 각속도에 따른 함수로 구심력을 나타낸다면, 그 크기는 각속도의 제곱과 궤도 반지름에 비례하게 됩니다. 앞에서 언급했듯이 구심력의 방향은 원 궤도의 중심을 향하며, 이는 항상 속도 벡터와 직각을 이루는것도 볼 수 있죠.

 

원심력은 관성계 내에서는 존재하지 않는 힘입니다. 관성계란 힘이 작용하지 않는 물체가 등속운동을 하는 뉴턴의 제 1법칙이 성립하는 좌표계를 이야기하는데요. 관성계에 대해서 가속운동이나 회전을 하는 관찰자의 입장에서 보면, 외력을 받지 않는 물체라고 해도 속력과 운동방향이 변할 수 있을 것입니다. 비관성계 내에서의 이러한 착시현상을 설명하기 위해서 도입되는 힘이 바로 원심력입니다. 원심력의 크기는 구심력과 동일하지만 방향이 반대라는 차이점이 있습니다.

 

커브를 도는 차량에 탑승한 사람은 커브 밖으로 쏠리는 듯한 느낌을 받게 되죠. 이는 차량으로부터 탑승자에 가해지는 항력 (normal force)이 구심력으로 작용하고, 차량 외부의 관성계에서 보면 탑승자와 차량이 함께 커브를 돌게 되는 것입니다. 반면에 비관성계인 차량에 대해서 정지해 있는 탑승자는 항력 때문에 바깥으로 쏠리는 듯한 느낌을 받게 되고, 이것이 원심력이 됩니다.

 

등속 원운동을 하는 물체에 작용하는 구심력으로부터 유추할 수 있는 점은 운동 방향에 수직으로 작용하는 힘은 물체의 운동 방향을 바꾼다는 것입니다. 반면에 운동 방향에 수평으로 작용하는 힘은 물체의 속력을 바꾸게 되죠. 운동 방향에 수직으로 작용하는 힘이 강할수록 물체의 궤적은 더 많이 휘어질 것입니다. 일반적인 궤적에 대해서 이를 정량적으로 살펴보는 방법은 곡률 반경 (radius of curvature)을 보는 것입니다.

 

궤적의 아주 작은 일부를 떼어다가 이를 포함하는 원 궤도를 상상해 볼 수 있습니다. 그리고 이러한 가상의 원 궤도의 반지름이 곡률 반경으로 정의됩니다. 물체의 궤적이 원형이라면 원 궤도의 반지름이 곧 곡률 반경이 되겠죠. 반면에 직선 궤적에서의 곡률 반경은 무한대로 발산하게 됩니다. 앞에서 이야기했던 등속 원운동의 예시를 일반화하면, 구심력의 크기는 속력의 제곱에 비례하고 곡률 반경에 반비례한다고 볼 수 있습니다.

 

실생활에서 구심력이 등장하는 예시 중 하나로 롤러코스터가 있는데요. 트랙을 디자인하는데 있어서 차량이나 트랙으로부터 받는 항력의 크기가 비정상적으로 커지지 않도록 주의할 필요가 있습니다. 그렇게 해야 탑승한 손님이 불편을 느끼지 않으면서도 최대한 재미있게 롤러코스터를 탈 수 있게 되는 것입니다.

 

 

여러 롤러코스터에서 단골로 등장하는 수직 루프 (vertical loop)는 수직으로 한바퀴 도는 트랙인데, 이를 자세히 살펴보면 루프가 완벽한 원형이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 루프의 밑부분과 윗부분의 곡률이 다른데요. 루프의 밑부분이 더 완만한 곡률을 가지고 있어서 곡률 반경이 크다고 볼 수 있습니다.

 

위치에 따라 곡률 반경이 달라지는 방식으로 설계를 해야 하는 이유는 루프를 도는 공전운동을 위해 필요한 수직 항력의 크기와 관련이 있습니다. 탑승자에 작용하는 중력에는 트랙에 수직인 성분이 존재하고 이것이 수직 항력과 합쳐저서 구심력으로 작용하게 되는데, 수직항력의 크기가 적절한지의 여부가 곡률 반경에 따라 달라질 수 있다는 것입니다.

 

수직 루프의 밑부분에서는 중력이 루프의 외부를 향하게 됩니다. 이말인즉슨 루프의 중심을 향하는 알짜힘을 얻기 위해 필요한 수직 항력은 중력을 상쇄하면서도 루프의 중심을 향해 열차의 운동방향을 바꿀 수 있어야 되겠죠. 중력의 반대방향으로 작용하는 힘에다가 구심력을 더한 만큼의 수직 항력이 필요하기 때문에, 커브를 최대한 완만하게 해야 수직 항력이 커지지 않습니다.

 

수직 루프의 윗부분에서는 중력이 루프의 중심을 향하게 되는데요. 따라서 중력이 열차의 운동 방향을 바꾸는 구심력에 기여한다고 볼 수 있습니다. 물론 여기서도 트랙에 의한 수직 항력은 작용합니다만, 중력을 상쇄해야 하는 것은 아니기 때문에 루프의 밑부분에 비해서 커브를 더 급격하게 만들 수 있는 것입니다.

 

구심력이 등장하는 또 다른 예시로서 태양 주위를 공전하는 행성을 생각해볼 수 있습니다. 태양으로부터의 중력이 구심력이 되어서 행성이 공전 운동을 하게 되죠. 일반적으로 행성의 공전궤도는 타원의 형태를 띠고 있어서 운동 방향뿐만 아니라 공전 속력 역시 주기적으로 변하게 됩니다. 이러한 공전 운동의 특징을 정립한 것으로서 케플러 법칙이 있으며, 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 만유인력과 케플러 법칙

 

---

 

구심력이 작용하는 방향은 운동 방향에 수직이기 때문에 물체의 속력을 바꾸지는 않는다고 앞에서 이야기했는데요. 이러한 특징 때문에 구심력은 물체의 운동에너지를 바꾸지 않습니다. 반면에 구심력이 존재하면 속도 벡터의 방향이 달라지기 때문에 운동량은 시간에 따라 변하게 됩니다. 운동량과 에너지에 대해 더 자세한 내용은 다음 포스팅에 소개되어 있습니다.

 

물리학 상식 : 에너지, 운동량과 각운동량