여기서는 두 개의 물체의 운동을 뉴턴의 고전역학을 통해 알아보는 데 있어서 유용한 개념인 환산 질량 (reduced mass)에 대해서 알아봅시다. 서로 상호작용하는 두 개의 물체의 위치와 속도가 시간에 따라 어떻게 변화하는지에 대한 문제를 일반적으로 이체 문제 (two-body problem)라고 부릅니다.
이번 포스팅에서 다루는 내용을 이해하기 위해서는 물체에 작용하는 힘이 운동 상태를 어떻게 변화시키는지와 더불어 무게중심에 대해 먼저 알아둘 필요가 있습니다. 물체의 운동이 가지는 파급력을 수치화한 개념으로서 운동량이 있고, 여러개의 물체로 이루어진 집합의 총 운동량으로부터 무게중심의 개념을 도출할 수 있는데요. 다음 포스팅에 더 자세한 내용이 소개되어 있습니다.
물리학 상식 : 에너지, 운동량과 각운동량
여기서는 물체의 운동을 수치화하는데 있어서 중요한 물리량들인 에너지 (energy), 운동량 (momentum) 및 각운동량 (angular momentum)에 대해 알아보도록 합시다. 이들은 고등학교 물리 교과과정에서부터
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일반적인 상황에서 이체 문제를 푸는 것은 상당히 어렵습니다. 두 물체간의 상호작용 뿐 아니라 외부에서 가해지는 힘이 존재하기 때문이죠. 그럼에도 불구하고 문제를 단순화시킬 수 있는 케이스들이 있는데, 대표적으로 중심력 (central force) 문제라고 불리는 경우가 그렇습니다.
중심력 문제에 대해 간단히 말하자면 다음과 같습니다. 두 물체 사이에 작용하는 힘이 상대방 물체를 향하거나 그 정반대의 방향을 가지고 있고, 힘의 크기는 두 물체 사이의 거리에 따른 함수로 주어집니다. 그리고 두 물체 사이의 상호작용 이외에는 힘이 작용하지 않습니다.
두 개의 물체가 외부와 철저하게 단절된 채 서로에 의한 힘에 따라서만 운동하는 상황은 현실에는 물론 존재하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 여러 가지 물리 문제를 푸는 데 있어서 중심력 문제는 좋은 근사법이 될 수 있는데요. 예를 들자면 태양 주위를 공전하는 행성의 궤도 운동을 생각해볼 수 있습니다. 태양계에는 여러 행성이 있어서 행성들 사이에도 만유인력이 작용합니다만, 태양에 의한 중력이 압도적으로 강력하기 때문에 행성과 태양 간의 이체 문제로 생각해볼 수 있습니다. 다른 행성으로부터의 만유인력 때문에 행성의 공전궤도가 점진적으로 변하기는 하지만, 이러한 변화는 공전주기에 비해 매우 느리게 일어난다는 특징이 있는 것입니다.
앞에서 언급된 환산 질량은 중심력이 존재하는 이체 문제를 더 쉽게 풀수 있도록 단순화하는 과정에서 등장하는 개념입니다. 원칙적으로 뉴턴의 운동 방정식은 두 물체의 위치와 속도에 대한 미분방정식으로 주어지는데요. 다시 말해서 위치의 시간에 대한 2차 미분에다가 질량을 곱하면 물체에 작용하는 힘이 되죠. 핵심이 되는 아이디어는 두 물체의 위치에 대한 방정식을 무게중심의 위치와 상대적인 위치에 대한 방정식으로 재구성하는 것입니다.
중심력의 영향을 받는 두 물체가 각각 받는 힘은 크기가 동일한 반면에 방향이 서로 반대가 된다는 점을 눈여겨볼 필요가 있습니다. 이는 작용-반작용의 법칙에 따른 결과인 것입니다.
결과적으로 무게중심의 위치를 시간에 대해 2차 미분하면 0이 된다는 것과 더불어, 두 물체 사이의 상대적인 위치가 어떻게 변하는지에 대한 미분방정식 역시 얻을 수 있는데요. 여기서 바로 환산 질량이 등장하게 됩니다. 상대적인 위치를 시간에 대해 두 번 미분한 가속도에다가 환산 질량을 곱한 것이 중심력이 되는 것이죠. 뉴턴의 두번째 운동법칙과 닮았지만, 물체의 절대적인 위치와 실제 질량 대신에 상대적인 위치와 환산 질량이 들어가는 차이점이 있습니다.
앞에서 중심력의 예시로서 언급한 만유인력을 좀 더 면밀하게 들여다봅시다. 뉴턴 중력이라고도 불리는 만유인력의 영향을 받는 두 물체가 어떻게 운동하는지는 케플러 법칙에 의해서 잘 설명이 되고, 여기에 대해서는 다른 포스팅에서 소개한 바 있습니다.
물리학 상식 : 만유인력과 케플러 법칙
여기서는 고전 중력 혹은 뉴턴 중력 (Newtonian gravity)이라고도 불리우는 만유인력의 개념과, 이로 인해 파생되는 행성의 궤도 운동인 케플러 (Kepler) 운동에 대해 알아봅시다. 고등학교 지구과학 교
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케플러 법칙 중에서 세 번째인 조화의 법칙을 통해 쌍성계의 질량을 추정할 수 있다는 점을 언급했었는데요. 더 정확하게 말하자면 두 별의 질량의 합이 궤도 장반지름의 세제곱에 비례하고, 공전 주기의 제곱에 반비례한다는 특징이 있습니다. 태양계의 경우는 태양의 질량이 압도적으로 크기 때문에 별로 신경쓸 필요가 없는 요소입니다만, 질량이 서로 엇비슷한 두 별이 서로를 공전하는 경우 이를 엄밀하게 따져야 하는 것입니다.
수학적으로 보면 만유인력을 환산 질량으로 나눈 것이 질량의 합에 비례하고, 이것이 곧 상대적인 위치의 가속도를 결정하기 때문이라고도 할 수 있습니다.
